Question

已知定点和定直线，是定直线上的两个动点且满足,动点满足，（其中为坐标原点）.

(1)求动点的轨迹的方程;

(2)过点的直线与相交于两点

①求的值;

②设,当三角形的面积时,求的取值范围.

Answer 1

；； 

解析:

(1)设 (均不为),

由 ∥ 得,即                

由∥得,即              

 

得  

动点的轨迹的方程为            

（2）①由（1）得的轨迹的方程为，,

设直线的方程为,将其与的方程联立,消去得.         设的坐标分别为,则.  ,           9分

故    

②解法一：，  即

  又 ,   .     可得       

故三角形的面积,            

因为恒成立，所以只要解.

即可解得.     

解法二：，，

（注意到）

又由①有，，

三角形的面积（以下解法同解法一）