题目内容
若函数f（x）=
在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
（1）试求实数a的取值范围．
（2）若a=2，求f（x）=c有三个不同实根时，c的取值范围．
（说明：第二问能用f（x）表达即可，不必算出最结果．）
在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．（1）试求实数a的取值范围．
（2）若a=2，求f（x）=c有三个不同实根时，c的取值范围．
（说明：第二问能用f（x）表达即可，不必算出最结果．）
解：（1）∵函数f（x）=
∴f′（x）=x2﹣ax+a2﹣13，
∴f（x）在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
∴f′（x）=x2﹣ax+a2﹣13≤0在区间（1，4）上恒成立，
f′（x）=x2﹣ax+a2﹣13≥0在区间（1，4）上恒成立，
由f′（x）=x2﹣ax+a2﹣13开口向上，
∴只需
∴
∴a∈[1，3]
∴a的取值范围为[1，3]．
（2）∵a=2，f（x）=
，
∴f′（x）=x2﹣2x﹣9，
∴令f′（x）=x2﹣2x﹣9≥0即x≤1﹣
或x≥1+ 
，
∴f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣
），（1+ 
，+∞），减区间为（1﹣
，1+ 
）
∴f（x）的大致图象如图所示：令y=c，则由图可知，当
∴f′（x）=x2﹣ax+a2﹣13，
∴f（x）在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
∴f′（x）=x2﹣ax+a2﹣13≤0在区间（1，4）上恒成立，
f′（x）=x2﹣ax+a2﹣13≥0在区间（1，4）上恒成立，
由f′（x）=x2﹣ax+a2﹣13开口向上，
∴只需
∴∴a∈[1，3]∴a的取值范围为[1，3]．
（2）∵a=2，f（x）=
，∴f′（x）=x2﹣2x﹣9，
∴令f′（x）=x2﹣2x﹣9≥0即x≤1﹣
或x≥1+ ，∴f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣
），（1+ ，+∞），减区间为（1﹣ ，1+ ） 
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