Question

已知函数，
（1）求函数在上的最小值；
（2）若函数与的图像恰有一个公共点，求实数a的值；
（3）若函数有两个不同的极值点，且，求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）当时最小值，当时最小值（2）3（3）

试题分析：（1）令，得，①当时，函数在上单调递减，在上单调递增。此时最小值为；②当时，函数在上单调递增，此时最小值为。
（2）在上有且仅有仅有一个根，即在上有且仅有仅有一个根，令，则，上递增，所以。
（3），由题意知有两个不同的实数根，等价于有两个不同的实数根，等价于直线与函数的图像有两个不同的交点。
，所以当时，存在，且的值随着的增大而增大。
而当时，则有，两式相减得代入，解得此时，所以实数的取值范围为
点评：第一小题求最值需对参数分情况讨论从而确定最值点的位置，第二小题将方程的根的情况转化为函数最值得判定，这种转化方法包括将不等式恒成立问题转化为函数最值问题都是函数题目中经常用到的思路，须加以重视