Question

定义：同时满足下列两个条件的数列{a_n} 叫做“上凸有界数列”，①

an+an+2

2

≤an+1②a_n≤M，M是与n无关的常数．
（I）若数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1，试判断数列{a_n} 是否为上凸有界数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等差数列，T_n为其前n项和，且b₃=4，T₃=18，试证明：数列{T_n}为上凸有界数列．

Answer 1

分析：（I）利用公式a_n=

s1       (n=1) sn-sn-1 (n≥2)

求得数列{a_n}的通项公式，易知此数列不满足条件②
（II）设设{b_n}的公差为d的公差为d，列方程求得首相和公差，得{b_n}的通项公式，进而求和得T_n，利用作差法可证的满足条件①，利用数列的函数性质，可证得满足条件②

解答：解：（I）n=1时，a₁=s₁=2-1=1
n≥2时a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1
∴a_n=2^n-1
显然a_n=2^n-1是递增数列，故不存在常数M，使a_n≤M成立
∴数列{a_n} 不是上凸有界数列
（II）设{b_n}的公差为d，则

b1+2d=4 3b1+ 3×2 2 d=18

解得b₁=8，d=-2
∴T_n=8n+

n(n-1)

2

(-2)=-n²+9n
∵

Tn+Tn+2

2

-Tn+1=

(Tn+2-Tn+1)-(Tn+1-Tn)

2

=

bn+2-bn+1

2

=

d

2

=-1＜0
∴

Tn+Tn+2

2

≤Tn+1，即{T_n}满足条件①
又T_n=-n²+9n=-（n-

9

2

）²+

81

4

当n=4或5时T_n取最大值20，即T_n≤20，满足条件②
综上数列{T_n}为上凸有界数列

点评：本题综合考查了数列通项公式的求法，数列求和的方法以及数列的函数性质