Question

已知函数的导函数是，在处取得极值，且

，

（Ⅰ）求的极大值和极小值；

（Ⅱ）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有

成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最

小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的极大值和极小值分别为4和0 （Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（I）依题意，，解得，

由已知可设，因为，所以，

则，导函数．

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	递增	极大值4	递减	极小值0	递增

由上表可知在处取得极大值为，

在处取得极小值为．

（Ⅱ）①当时，由（I）知在上递增，

所以的最大值，

由对任意的恒成立，得，则，

因为，所以，则，

因此的取值范围是．

②当时，因为，所以的最大值，

由对任意的恒成立，得，∴，

因为，所以，因此的取值范围是，

综上①②可知，的取值范围是．

（Ⅲ）当时，直线斜率，

因为，所以，则，

即直线斜率的最小值为4 

首先，由，得.

其次，当时，有，所以，

证明如下：记，则，

所以在递增，又，

则在恒成立，即，所以.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

点评：本题考查导数的应用，考查函数极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查两个数比较大小的方法．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．