Question

（2013•盐城三模）将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S₁cm²，S₂cm²，其中S₁≤S₂．记折痕长为lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：2，求l的取值范围．

Answer 1

分析：（1）不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S₁的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．易判断l=4为情形①，设AM=xcm，AN=ycm，则x²+y²=16．利用不等式即可求得S₁的最大值；
（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32，按三种情形进行讨论：根据S₁的面积可把折痕l表示为函数，根据函数的特点可用导数或二次函数性质分别求得l的范围，综上即可求得l的范围；

解答：解：如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S₁的部分内．折痕有下列三种情形：

情形①情形②情形③
①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；
②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；
③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．
（1）在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．
设AM=xcm，AN=ycm，则x²+y²=16．
因为x²+y²≥2xy，当且仅当x=y时取等号，
所以S1=

1

2

xy≤4，当且仅当x=y=2

2

时取等号，即S₁的最大值为4．
（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，
因为S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32．
当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则

1

2

xy=16，即y=

32

x

，
由

0≤x≤8 0≤ 32 x ≤6

，解得

16

3

≤x≤8，
所以l=

x2+y2

=

x2+ 322 x2

，

16

3

≤x≤8，
 设f（x）=x2+

322

x2

，x＞0，则f′(x)=2x-

2×322

x3

=

2(x2+32)(x+4 2 )(x-4 2 )

x3

，x＞0，
故当x∈（

16

3

，4

2

）时f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（4

2

，8）时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（

16

3

）=64

4

9

，f（8）=80，
所以f（x）的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4

5

]．
当折痕是情形②时，设AM=xcm，DN=ycm，则

1

2

(x+y)×6=16，即y=

16

3

-x，
由

0≤x≤8 0≤ 16 3 -x≤8

，解得0≤x≤

16

3

，
所以l=

62+(x-y)2

=

62+4(x- 8 3 )2

，0≤x≤

16

3

，
所以l的范围为[6，

2 145

3

]；
当折痕是情形③时，设BN=xcm，AM=ycm，则

1

2

(x+y)×8=16，即y=4-x，
由

0≤x≤6 0≤4-x≤6

，得0≤x≤4，所以l=

82+(x-y)2

=

82+4(x-2)2

，0≤x≤4，
所以l的取值范围为[8，4

5

]，
综上，l的取值范围为[6，4

5

]．

点评：本题考查利用导数、不等式求函数的最值，考查分类讨论思想、函数思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．