Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆上的点到焦点距离的最大值为2+

2

，最小值为2-

2

．
（1）求椭圆的方程
（2）设过点(0，

3

)的直线l与椭圆交于A、B两点，若以AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则

a+c=2+ 2 a-c=2- 2

，解出即可；
（2）易判断直线l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+

3

，因为以AB为直径的圆与y轴相切，所以圆心到y轴的距离即圆心横坐标等于半径，由弦长公式可求得|AB|，从而可得半径，利用韦达定理及中点坐标公式可求得圆心横坐标．

解答：解：（1）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则

a+c=2+ 2 a-c=2- 2

，解得

a=2 c= 2

，b²=a²-c²=2，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）易知直线不存在斜率时不满足条件，设直线l的方程为y=kx+

3

，
由

y=kx+ 3 x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4

3

kx+2=0，△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4 3

1+2k2

k，x1x2=

2

1+2k2

，
则

x1+x2

2

=-

2 3 k

1+2k2

，即圆心横坐标为-

2 3 k

1+2k2

，
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

(- 4 3 k 1+2k2 )2- 8 1+2k2

=

2 1+k2 • 8k2-2

1+2k2

，
因为以AB为直径的圆与y轴相切，所以|-

2 3 k

1+2k2

|=

1+k2 • 8k2-2

1+2k2

，解得k=±1，
所以直线l的方程为：y=x+

3

或y=-x+

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础，解决（2）问的关键是由线圆相切得到等式．