Question

设函数f（x）=

x

x2+ax+1

是（-∞，+∞）上的奇函数（常数a∈R）
（1）求a的值；    
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，则f（-1）=-f（1）建立等式关系，解之即可求出a的值；
（2）当x=0时，f（0）=0，当x≠0时 f（x）=

1

x+ 1 x

，然后研究分母的取值范围，即可求出函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）由已知 f（-1）=-f（1）⇒a=0                       （3分）
（2）f（x）=

x

x2+1

x=0时  f（0）=0                           （4分）
x≠0时 f（x）=

1

x+ 1 x

（6分）
∵|x|+

1

|x|

≥2
∴f（x）的最大值和最小值分别为

1

2

和-

1

2

．（8分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及函数的最值，同时考查了基本不等式，属于中档题．