Question

已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得f（cos2θ-7）+f（4m-2mcosθ）＞f（0），对一切θ∈[0，

π

2

]都成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：由奇函数的性质及已知可得f（cos2θ-7）＞f（2mcosθ-4m），结合f（x）在R上单调递增可得cos2θ-7＞2mcosθ-4m，即cosθ+2＞m恒成立，只要求cosθ+2的最小值即可

解答：解：∵奇函数f（x）的定义域为R
∴f（0）=0
∵f（cos2θ-7）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）
∴f（cos2θ-7）＞f（2mcosθ-4m）恒成立
又∵f（x）在R上单调递增
∴cos2θ-7＞2mcosθ-4m----（6分）
∴2cos²θ-8＞2mcosθ-4m
即cosθ+2＞m恒成立
∵0≤cosθ≤1
∴2≤2+cosθ≤3
∴m＜2

点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性、单调性、奇函数的性质及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化的应用．