Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，点（n，S_n）都在函数f（x）=2x²-x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=${2}^{\frac{{a}_{n}+1}{2}}$，求log₂（b₁•b₂•b₃•b₄•b₅）的值及{b_n}的前n项和B_n．

Answer 1

分析 （1）由点（n，S_n）都在函数f（x）=2x²-x的图象上，可得${S}_{n}=2{n}^{2}-n$，利用当n=1时，a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）b_n=${2}^{\frac{{a}_{n}+1}{2}}$=2^2n-1，利用对数与指数的运算性质可得log₂（b₁•b₂•b₃•b₄•b₅），利用等比数列的前n项和公式即可得出{b_n}的前n项和B_n=2+2³+…+2^2n-1．

解答 解：（1）∵点（n，S_n）都在函数f（x）=2x²-x的图象上，
∴${S}_{n}=2{n}^{2}-n$，
当n=1时，a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3，
当n=1时上式也成立，
∴a_n=4n-3．
（2）b_n=${2}^{\frac{{a}_{n}+1}{2}}$=2^2n-1，
∴log₂（b₁•b₂•b₃•b₄•b₅）=$lo{g}_{2}（2•{2}^{3}•…•{2}^{9}）$=$lo{g}_{2}{2}^{25}$=25．
∴{b_n}的前n项和B_n=2+2³+…+2^2n-1=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数与指数的运算性质、递推式的应用，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．