Question

已知函数f(x)=

3

sinx-cosx，x∈[

π

2

，π]．
（1）若sinx=

4

5

，求函数f（x）的值；
（2）求函数f（x）的最小值并求相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）根据x∈[

π

2

，π]，我们结合若sinx=

4

5

，我们易求出X的余弦值，代入函数f(x)=

3

sinx-cosx，即可得到答案．
（2）根据已知中函数的解析式，利用辅助角公式，我们可将函数化为正弦型函数，根据正弦型函数的性质，结合x∈[

π

2

，π]，我们易得到函数f（x）的值；

解答：解：（1）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

，π]，
∴cosx=-

3

5

，
∵f(x)=

3

sinx-cosx
∴f(x)=

4 3 +3

5

．（6分）
（2）∵f(x)=

3

sinx-cosx=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)=2sin(x-

π

6

)
∵x∈[

π

2

，π]，∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，
∴当x-

π

6

=

5π

6

，即x=π时，f（x）取得最小值1．（12分）．

点评：本题考查的知识点三角函数的最值，同角三角函数基本关系的运用，其中要注意x∈[

π

2

，π]的限制，这是本题的易忽略点．