Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜），
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ， 依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ， 即MNQP是平行四边形， ∴MN=PQ， 由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1， ∴AC=BF=，， 即， ∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ），， 所以，当a=时，MN=， 即M、N分别移动到AC、BF的中点时， MN的长最小，最小值为。
（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG， ∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点， ∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角， 又AG=BG=， 所以，由余弦定理有， 故所求二面角。