Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2

（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）求点E到平面的距离.

Answer 1

方法一:
(1)证明：连结OC.
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.
而AC=2,
∴AO²+CO²=AC^2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
                          

 

∴AB平面BCD.

（Ⅱ）取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中，

是直角△AOC斜边AC上的中线，∴

∴

∴异面直线AB与CD所成角的大小为

（Ⅲ）设点E到平面ACD的距离为h.

,

∴?S_△ACD =?AO?S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=

而AO=1, S_△CDE=

∴h=

∴点E到平面ACD的距离为.

方法二：

（Ⅰ）同方法一：

（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，

C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0), 

∴

∴异面直线AB与CD所成角的大小为

（Ⅲ）设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则               

∴

 

 

 

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量.
又

∴点E到平面ACD的距离
h=