题目内容

（2012•湘潭三模）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是
1
2
，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
1
3
，
1
2
；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
3
5
，
2
5
，记第n次按下按钮后出现红球的概率为Pn．
（1）求P2的值；
（2）当n∈N*，n≥2时，
①求用Pn-1表示Pn的表达式；
②求Pn关于n的表达式．
分析：（1）先求出第一次，第二次均出现红球，则概率为：
1
2
×
1
3
，第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：
1
2
×
3
5
，相加即得所求．
（2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：Pn-1，n∈N，n≥2，可得 出现绿球的概率为：1-Pn-1 ，则由题意可得Pn=
1
3
P n-1+
3
5
 （1-Pn-1 ）化简求得结果．
②设 Pn+x=-
4
15
（Pn-1+x），即 Pn=-
4
15
 Pn-1-
19
15
x． 令-
19
15
x=
3
5
，解得 x=
-9
19
，故Pn-
9
19
=-
4
15
 （Pn-1-
9
19
），故{ Pn-
9
19
 }是等比数列，首项等于P1-
9
19
=
1
38
，公比等于-
4
15
，由此求得Pn关于n的表达式．
解答：解：（1）P2是“第二次按下按钮后出现红球”．
若第一次，第二次均出现红球，则概率为：
1
2
×
1
3
=
1
6
，
第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：
1
2
×
3
5
=
3
10
，
故所求概率为：P2=
1
6
+
3
10
=
7
15
．
（2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：Pn-1，n∈N，n≥2，则出现绿球的概率为：1-Pn-1．
若第n-1次，第n次均出现红球，其概率为：Pn-1×
1
3
，
若第n-1次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为：（1-Pn-1）
3
5
，
∴Pn=
1
3
P n-1+
3
5
 （1-Pn-1 ）=
3
5
-
4
15
Pn-1，即Pn=
3
5
-
4
15
Pn-1，n∈N，n≥2．
②设  Pn+x=-
4
15
（Pn-1+x），即 Pn=-
4
15
 Pn-1-
19
15
x．
令-
19
15
x=
3
5
，解得 x=
-9
19
，∴Pn-
9
19
=-
4
15
 （Pn-1-
9
19
），
故{ Pn-
9
19
 }是等比数列，首项等于P1-
9
19
=
1
38
，公比等于-
4
15
．
∴Pn-
9
19
=
1
38
 (-
4
15
)n-1，∴Pn=
1
38
(-
4
15
)n-1+
9
19
．
点评：本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率加法公式的应用，等比关系的确定，等比数列的通项公式，属于中档题．
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