Question

已知函数f(x)=(a、b为常数,a≠0),f(2)=1,且f(x)=x有唯一解.

(1)求f(x)的表达式;

(2)设x₁=2,x_n=f(x_n-1)(n=2,3,…),求证:数列{}成等差数列;

(3)在条件(2)下,求{x_n}的通项公式.

Answer 1

(1)解：由f(x)得=x,                                                  ①

∴x(ax+b-1)=0.∴x=0或x=.

∵方程①有唯一解,

∴1-b=0,b=1.

又由f(2)=1,得=1a=,

故f(x)=.

(2)证明:x_n=f(x_n-1)=(n＞1),

∴2x_n-2x_n-1=-x_n-1x_n.

同除x_nx_n-1,,

故{}为等差数列.

(3)解：∵{}为等差数列,

∴=+(n-1)d=+(n-1)·.

∴x_n=.