Question

设函数f(x)=xsinx ，  x∈[ -

π

2

 ， 

π

2

 ]，若f（x₁）＞f（x₂），则下列不等式必定成立的是（　　）

• A、x₁+x₂＞0
• B、x₁²＞x₂²
• C、x₁＞x₂
• D、x₁＜x₂

Answer 1

分析：由题意可得：f（x）=f（|x|），结合导数可得f′（|x|）＞0，所以f（|x|）在[ 0 ，

π

2

]上为增函数，又由f（x₁）＞f（x₂），得f（|x₁|）＞f（|x₂|），进而根据函数的单调性得到答案．

解答：解：由题意可得：f（x）=f（|x|），
因为当x∈[ 0 ， 

π

2

 ]时，f′（|x|）=sinx+xcosx＞0，
所以此时f（|x|）为增函数．
又由f（x₁）＞f（x₂），得f（|x₁|）＞f（|x₂|），
故|x₁|＞|x₂||，
所以x₁²＞x₂²．
故选B．

点评：本题考查运用奇函数、偶函数与增函数的概念与性质解决问题．