Question

已知点F是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A、P，PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，PB⊥PA，则该椭圆的离心率e=    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意得该椭圆的形状确定，与大小无关．因此设a=1，得P（c，b²），从而A（-c，-b²），可得到直线AF的方程为：y=（x-c），与椭圆方程联解得出点B（，），由此得出PB的斜率k₁，并化简得k₁=-2c，结合PA的斜率k₂=且PB⊥PA，由k₁k₂=-1列式并解之，可得b=c=，最终得出该椭圆的离心率e．
解答：解：根据题意椭圆的离心率为定值，故椭圆的形状确定，与大小无关
因此设a=1，得椭圆的方程为，
求出椭圆的半焦距c，即得椭圆的离心率．
由F（c，0）及PF⊥x轴，得P（c，b²）
∵PA的中点为坐标原点O
∴A的坐标为（-c，-b²），得直线AF的斜率k==
∴直线AF的方程为：y=（x-c）
由联解，得B的横坐标x_B=，
将b²=1-c²代入，化简得x_B=，代入直线AF方程，得B的纵坐标y_B=
∴直线PB的斜率k₁==-2c
∵PA的斜率k₂=，且PB⊥PA，
∴k₁k₂=-1，得-2c•=-1，解之得b=c=
因此，该椭圆的离心率e==
故答案为：
点评：本题给出满足特殊条件的椭圆，求该椭圆的离心率，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．