Question

14．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2BC=2，PA=AB=$\sqrt{3}$，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，利用线面垂直的判定定理证明CD⊥平面PAE，即可证明：平面PAE⊥平面PCD；
（Ⅱ）作AF⊥PE于F，证明AF⊥平面PCD，即可求点A到平面PCD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：连结AC，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，∠ABC=90°
可得AC=2，所以AD=AC，
又E为CD的中点，
所以AE⊥CD，------------------------------------------（2分）
因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
所以PA⊥CD，
又AE∩PA=A，故CD⊥平面PAE，----------------------------（5分）
而CD?平面PCD，故平面PAE⊥平面PCD-----------（6分）
（Ⅱ）解：作AF⊥PE于F，
由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAE，所以CD⊥AF．
又CD∩PE=E，故AF⊥平面PCD
∴AF为点A到平面PCD的距离----------------------------（9分）
由AD=2，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，∠ABC=90°．
可得CD=2
因此AC=AD=CD=2，所以AE=$\sqrt{3}$．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA=AE=$\sqrt{3}$，因此PE=$\sqrt{6}$，
所以AF=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故A到平面PCD的距离为$\frac{\sqrt{6}}{2}$--------------------------------------------------------（12分）

点评 考查线面垂直的判定和性质定理，点到面的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．