Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R
（1）若f（x）在P（x0 ， y0）（x∈[ ））处的切线方程为y=﹣2，求实数a的值；
（2）若x1 ， x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（ ）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意有lnx0+ ﹣ax0=﹣2， +2x0﹣a=0，

消去a得lnx0﹣ +1=0，x0∈[ ，+∞），

h（t）=lnt﹣t2+1，t∈[ ，+∞），

显然h（1）=0，且h′（t）= ﹣2t= ≤0，

故lnx0﹣ +1=0当且仅当x0=1，

所以a= +2x0=3

（2）解：x1，x2是函数f（x）的两个零点有f（x1）=lnx1+ ﹣ax1=0，

f（x2）=lnx2+ ﹣ax2=0，相减得a= +x1+x2，

∵f′（ ）= ﹣

所以要证明f′（ ）＜0，只需证明 ﹣ ＜0，（0＜x1＜x2），

即证明 ＞lnx1﹣lnx2，即证明 ＞ln （*）

令 =t∈（0，1），则g（x）=（1+t）lnt﹣2t+2，

则g′（t）=lnt+ ﹣1，g″（t）= ﹣ ＜0，

∴g′（t）在（0，1）递减，g′（t）＞g′（1）=2＞0，

∴g（t）在（0，1）递增，g（t）＜g（1）=0，

所以（*）成立，即f′（ ）＜0

【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为h（t）=lnt﹣t2+1，t∈[ ，+∞），根据函数的单调性求出a的值即可；（2）求出a= +x1+x2 ， 问题转化为证明 ＞ln （*），令 =t∈（0，1），则g（x）=（1+t）lnt﹣2t+2，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．