Question

已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面PAF；
（Ⅱ）在棱PA上找一点G，使EG∥平面PFD，当PA=AB=4时，求四面体E-GFD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由条件证得 AF⊥FD、PA⊥FD．再根据直线和平面垂直的判定定理证得DF⊥平面PAF．
（Ⅱ）过点E，作EH∥FD，交AD于点H，再过H作HG∥PD交PA于G，可得平面EHG∥平面PFD，从而证得EG∥平面PFD．由条件求得三角形EFD的面积，再用等体积法求得四面体E-GFD的体积 V_E-GFD=V_G-EFD=

1

3

×S_△EFD×AG 的值．

解答：（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，因为AD=2AB，
点F是BC的中点，
∴∠AFB=∠DFC=45°，∴∠AFD=90°，
即 AF⊥FD．
由于PA⊥平面ABCD，∴PA⊥FD．
再根据PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF．
（Ⅱ）过点E，作EH∥FD，交AD于点H，
则EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD．
再过H作HG∥PD交PA于G，所以GH∥平面PFD，
且AG=

1

4

PA．
所以平面EHG∥平面PFD．
再根据EG?平面EHG，∴EG∥平面PFD．
当PA=AB=4时，可得DF=

CD2+CF2

=

22+22

=2

2

，EF=

BF2+BE2

=

22+12

=

5

，
ED=

AE2+AD2

=

12+42

=

17

．
△EFD中，由余弦定理求得cos∠EFD=

EF2+DF2-ED2

2EF•FD

=-

10

10

 
∴sin∠EFD=

3 10

10

∴S_△EFD=

1

2

EF•FD•sin∠EFD=3．
故四面体E-GFD的体积 V_E-GFD=V_G-EFD=

1

3

×S_△EFD×AG=

1

3

×3×1=1．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，余弦定理、用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．