Question

（本小题满分13分）

已知数列满足，且当时， ，令．

（Ⅰ）写出的所有可能的值；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）的所有可能的值为：，，，，．（2）的最大值为；（3）.

【解析】第一问中，根据题意可知当i=5时，满足条件的数列的所有可能情况有

，分别结算得到的值

第二问中，因为递推关系可知由，

可设，则或（，），

那么借助于累加法的思想得到数列的通项公式

第三问中，由（Ⅱ）可知，如果的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，可知分析得到结论。

解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：

（1）此时；（2）此时；

（3）此时；（4）此时；

（5）此时；（6）此时；

所以，的所有可能的值为：，，，，．       ……4分

（Ⅱ）由，

可设，则或（，），

因为，所以

．

因为，所以，且为奇数，是由

个1和个构成的数列

所以

．

则当的前项取，后项取时最大，

此时．

证明如下：

假设的前项中恰有项取，则

的后项中恰有项取，其中，

，，．

所以

．

所以的最大值为．                          ……9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，若，则，因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此不存在数列，使得．                                       ……13分