题目内容

设x1，x2，x3，…，xn都是正实数，且x1＋x2＋x3＋…＋xn＝S．

求证：．

答案：
解析：

　　证法一：根据柯西不等式，得

　　左边＝

　　＝[(S－x1)＋(S－x2)＋…＋(S－xn)]×

　　≥

　　＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝×S2＝＝右边．

　　∴原不等式成立．

　　证法二：∵a∈R+，则a＋≥2．

　　∴a≥2－．

　　∴．

　　n个式子相加，有

　　＝．∴原不等式成立．

　　证法三：(S－xi)≥．

　　∴，

　　∴．

　　∴原不等式成立．

　　思路分析：对比例2及本题要证明的不等式，知需要构造出S－x1＋S－x2＋…＋S－xn．


练习册系列答案
相关题目
（1）设x1，x2，x3均为正实数，由（1）x1•
1
x1
≥1和（2）（x1+x2）（
1
x1
+
1
x2
≥4）成立，可以推测（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
≥
 
；
（2）观察（1）中不等式的规律，由此归纳出一般性结论是
 
．
已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设x1，x2，x3为方程f（x）=0的三个根，且x1∈（-1，0），x2∈（0，1），x3∈（-∞，-1）∪（1，+∞），求证：a＞1或a＜-1．
已知函数f(x)=
x
1+x2
，x∈(0，1)．
（1）设x1，x2∈（0，1），证明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）设x∈（0，1），证明：
3x2-x
1+x2
≥
9
10
(x-
1
3
)；
（3）设x1，x2，x3都是正数，且x1+x2+x3=1，求u=
3
x
2
1
-x1
1+
x
2
1
+
3
x
2
2
-x2
1+
x
2
2
+
3
x
2
3
-x3
1+
x
2
3
的最小值．
已知a是给定的实常数．设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点．
（1）求b的取值范围．
（2）设x1，x2，x3是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某种排xxi1，xi2，xi3，xi4（其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由．
设x1，x2，x3，…，x10的平均数为
.
x
，方差为s2，标准差为s，若s=0，则有（　　）
A、
.
x
=0
B、s2=0且
.
x
=0
C、x1=x2=…=x10
D、x1=x2=…=x10=0

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