Question

在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为 ，

所以 .                         ……………………………………1分

因为 平面平面，平面平面，

平面，

所以 平面.                   ………………………………………3分

（Ⅱ）解：取的中点，连接.

因为，

所以 .

因为 平面平面，平面平面，平面，

所以 平面.                 ………………………………………4分

如图，

以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直

线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由

直角梯形中可得，，

.

所以 ，.

设平面的法向量.

因为

所以

即

令，则.

所以 .                  ………………………………………7分

取平面的一个法向量n.

所以 .

所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.

                                        ………………………………………9分

（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时. 理由如

下：                                   ………………………………………10分

取的中点，连接，，则 ∥，.

因为 ，

所以 .

因为 ∥，

所以 四边形是平行四边形.

所以 ∥.

因为 ，

所以 平面∥平面.            ………………………………………13分

因为 平面，

所以 ∥平面.                ………………………………………14分