Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a²-c²=ac-bc，
（1）求∠A的大小；
（2）若b=2，求△ABC的面积的大小．（附：关于x的方程

16

x2

-x2=4-2x只有一个正根2）

Answer 1

分析：（1）由已知b²=ac及a²-c²=ac-bc可得b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可求A
（2）由（1）知∠A=60°，由b=2，可得a=

4

c

，结合

16

c2

-c2=4-2c，可求c利用S△ABC=

1

2

bcsinA可求

解答：解：（1）∵a，bc成等比数列∴b²=ac又a²-c²=ac-bc
b²+c²-a²=bc，在△ABC中，由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

∠A=60°（5分）
（2）∵由（1）知∠A=60°，∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2csin60°=

3

2

c（6分）
由b=2，可得a=

4

c

，∴a=

4

c

，∴

16

c2

-c2=4-2c，∴c=2．

点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于公式的综合应用．