Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=|x-a|为偶函数，
∴对任意的实数x，f（-x）=f（x）成立
即|-x-a|=|x-a|，
∴x+a=x-a恒成立，或x+a=a-x恒成立
∵x+a=a-x不能恒成立
∴x+a=x-a恒成立，得a=0．…（4分）
（2）当a＞0时，|x-a|-ax=0有两解，
等价于方程（x-a）²-a²x²=0在（0，+∞）上有两解，
即（a²-1）x²+2ax-a²=0在（0，+∞）上有两解，…（6分）
令h（x）=（a²-1）x²+2ax-a²，
因为h（0）=-a²＜0，所以

a2-1＜0 a 1-a2 ＞0 △=4a2+4a2(a2-1)＞0

，故0＜a＜1；…（8分）
同理，当a＜0时，得到-1＜a＜0；
当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．
综上可知实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．…（10分）
（3）令F（x）=f（x）•g（x）
①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x²-ax），
对称轴x=

a

2

∈(0，

1

2

]，函数在[1，2]上是增函数，
所以此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a²．
②当1＜a≤2时，F(x)=

-a(x2-ax)，1＜x≤a a(x2-ax)，a＜x≤2

，对称轴x=

a

2

∈(

1

2

，1]，
所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a²-a，F（2）=4a-2a²，
1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜

5

3

，此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a²；
2）若F（1）≥F（2），即

5

3

≤a≤2，此时函数y=F（x）的最大值为a²-a．
③当2＜a≤4时，F（x）=-a（x²-ax）对称轴x=

a

2

∈(1，2]，
此时F(x)max=F(

a

2

)=

a3

4

，
④当a＞4时，对称轴x=

a

2

∈(2，+∞)，此时F(x)max=F(2)=2a2-4a．
综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值[F(x)]max=

4a-2a2，0＜a＜ 5 3 a2-a， 5 3 ≤a≤2 a3 4 ，2＜a≤4 2a2-4a，a＞4.

…（16分）