Question

已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）与y=-x²-4x+1所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法设出解析式，据△=0，和f′（x）=2x+2确定结果．
（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数．

解答：解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f'（x）=2x+2．∴可设f（x）=x²+2x+c．
又∵方程f（x）=0有两个相等实根，
∴△=4-4c=0⇒c=1，
∴f（x）=x²+2x+1
（2）∵函数f（x）=x²+2x+1与函数y=-x²-4x+1的图象交于点（0，1），（-3，4），
∴两函数图象所围成的图形的面积为S=

∫

0 -3

(-x2-4x+1-x2-2x-1)dx=

∫

0 -3

(-2x2-6x)dx=(-

2

3

x3-3x2)

.

0 -3

=9．

点评：本题考查导数的运算，利用定积分求曲边图形面积．在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1．作图象；2．求交点；3．用定积分表示所求的面积；4．微积分基本定理求积分