Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃＞a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且Sn=1-

1

2

bn （n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求证：c_n+1≤c_n．

Answer 1

分析：（1）通过求解一元二次方程求得a₃，a₅，则等差数列{a_n}的公差可求，直接由a_n=a_m+（n-m）d写出通项公式；根据给出的数列{b_n}的递推式，先取n=1求出b₁，取n=n-1得另一递推式，两式作差整理后可说明数列{b_n}是等比数列，且求出公比，则{b_n}的通项公式可求；
（2）把（1）中求出的数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=a_nb_n，再求出c_n+1，利用作差法即可求证不等式．

解答：（1）解：由x²-14x+45=0得：x₁=5，x₂=9．
∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且等差数列{a_n}的公差大于0，
∴a₃=5，a₅=9，则公差d=

a5-a3

5-3

=

9-5

2

=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1，
由Sn=1-

1

2

bn，当n=1时，有b1=S1=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

．
当n≥2时，有bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，
∴3b_n=b_n-1，∵b1=

2

3

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2）．
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．
∴bn=b1qn-1=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）证明：由a_n=2n-1，bn=

2

3n

，∴cn=anbn=

2(2n-1)

3n

，cn+1=

2(2n+1)

3n+1

．
则cn+1-cn=

2(2n+1)

3n+1

-

2(2n-1)

3n

=

8(1-n)

3n+1

≤0．
∴c_n+1≤c_n．

点评：本题考查了等差数列的通项公式的求法，考查了利用递推式确定等比关系，训练了利用作差法证明不等式，作差法证明不等式的关键是判断差式的符号，此题是中档题．