题目内容

已知函数f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间 $数学公式$ 上的最大值和最小值及取得最大最小值时对应x的值．

解：（1）函数f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x=cos2x+sin2x= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），故函数的最小正周期等于 $\text{[math]}$ =π．
（2）∵ $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴-1≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，∴- $\text{[math]}$ ≤f（x）≤ $\text{[math]}$ ．
当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最小值为- $\text{[math]}$ ，当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由此求得函数的最小正周期．
（2）根据x的范围求得2x+ $\text{[math]}$ 的范围，从而求得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的范围，可得函数f（x）的最值，以及取得最大最小值时对应x的值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．