题目内容

如图，已知四边形OBCD是平行四边形，|OB|=2，|OD|=4，∠DOB=60°，直线x=t（0＜t＜4）分别交平行四边行两边于不同的两点M、N．
（1）求点C和D的坐标，分别写出OD、DC和BC所在直线方程；
（2）写出OMN的面积关于t的表达式s（t），并求当t为何值时s（t）有最大值，并求出这个最大值．

解：（1）设点D（x，y），则x=|OD|cos60°= $\text{[math]}$ ，y=|OD|sin60°= $\text{[math]}$ ，∴点D $\text{[math]}$ ．

∴点C的横坐标=2+2=4，纵坐标= $\text{[math]}$ ，即C $\text{[math]}$ ．
①∵ $\text{[math]}$ ，∴直线OD的方程为 $\text{[math]}$ ；
②∵BC∥OD，∴ $\text{[math]}$ ，根据点斜式得直线BC的方程为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；
③∵DC∥x轴，且点D的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
∴直线DC的直线方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）由题意作出图形．
①当0＜t≤2时，s（t）=S_△OMN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可知当t=2时，s（t）取得最大值为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
②当2＜t＜4时，联立 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，即N $\text{[math]}$ ，
又可知M $\text{[math]}$ ，∴|MN|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴s（t）=S_△OMN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵函数s（t）在（2，4）上单调递减，
∴s（t）＜s（2）= $\text{[math]}$ ．
综上可知：当t=2时，s（t0取得最大值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求出得D、C的坐标，进而利用直线方程的四种形式即可求出；
（2）先写出△OMN的解析式，进而即可得出其最大值．
点评：熟练掌握直线方程的四种形式和正确得出△OMN的面积的表达式是解题的关键．