Question

已知椭圆的中心在原点，长轴在轴上，若椭圆上有一点到两焦点的距离分别是和，且过点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）试探究椭圆上是否存在两点关于直线对称，如果存在，求出实数的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设所求椭圆的方程为，两焦点的距离

∵，∴                    

又为直角三角形，为直角边

∴，∴，             

∴所求椭圆方程为                    

（Ⅱ） 方法一：假设椭圆上存在两点关于直线对称，设直线的方程为．                                   

联立方程组得

消取得

整理得③                           

设两点的坐标分别是和，则

是方程③的两个不相等的实根

∴，∴④                 

又设是的中点，

∴，∴

又点在对称轴上，∴，

∴⑤                                        

把⑤代入④得，∴

故椭圆上存在两点关于直线对称，实数的取值范围是．

方法二：假设椭圆上存在两点关于直线对称，设的中点为，则

                                 

由①-②得⑥      

把③④⑤代入⑥得

又，∴                   

又点在椭圆内，∴

∴，∴，∴

故椭圆上存在两点关于直线对称，实数的取值范围是．