Question

定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,

都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.

已知函数;   

 (1)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围;

(2)已知,函数在上的上界是,求的取值范围.

Answer 1

解:(I)由题意知,在上恒成立. ,      ∴在上恒成立 ∴      ………………2分

设,,,

由得 t≥1, 设,  

所以在上递减,在上递增, (单调性不证,不扣分))

在上的最大值为,  在上的最小值为  

所以实数的取值范围为   …………………………………………………6分

(Ⅱ), ∵   m>0  ,      ∴  在上递减,  

∴       即

∵   ,     ∴  在上递增,  

∴       即     …………………………8分

①当时,, 此时     

②当,即,, 此时  ,                                      

③当时,,此时     ……………………11分

综上所述:当时,的取值范围是;

当时,的取值范围是    ……………………………12分