Question

过抛物线y²=4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B.

(1)求证:△AOB不是直角三角形;

(2)当l的斜率为时,抛物线上是否存在点C,使△ABC为直角三角形且B为直角(点B位于x轴下方)?若存在,求出所有的点C;若不存在,说明理由.

Answer 1

解:(1)证明:∵焦点F为(1,0),过点F且与抛物线交于点A、B的所有直线可设为ky=x-1,代入抛物线y²=4x得y²-4ky-4=0,则有y_Ay_B=-4,

进而x_Ax_B=·=1.

又|OA|·|OB|cos∠AOB=·=x_ax_b+y_ay_b=1-4=-3＜0,

得∠AOB为钝角,故△AOB不是直角三角形.

(2)由题意得AB的方程为x-2y-1=0,代入抛物线y²=4x,

求得A(9+4,4+2),B(9-4,4-2),

假设抛物线上存在点C(t²,2t),使△ABC为直角三角形且C为直角,

此时,以AC为直径的圆的方程为(x-x_a)(x-x_c)+(y-y_a)(y-y_c)=0,将A、B、C三点的坐标代入得(-8)(9-4-t²)+(-4)(4-2-2t)=0,

整理得t²+t-(11-5)=0,

解得t₁=2-对应点B,t₂=-3+对应点C,

则存在C(14-6,-6+2)使△ABC为直角三角形.

故满足条件的点C有一个:C(14-6,-6+2).