Question

如图：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°．E为BB₁的中点，D点在AB上且DE=

3

．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-CDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据DE=

3

，可得D为AB的中点，然后利用线面垂直的判定定理，证明CD⊥AB，即可证明CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）根据锥体的条件公式确定三棱锥的底面积和高即可以求出锥体的体积．

解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=2

2

，
∵E为BB₁的中点，∴BE=1，
又DE=

3

，
∴BD=

2

，即D为AB的中点，
∴CD⊥AB．
又AA₁⊥CD，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）∵CD⊥平面A₁ABB₁，
∴CD是三棱锥C-A₁DE的高，且CD=

2

．
S△ACD=

1

2

×

2

×2=

2

，S△BDE=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
S△A1B1E=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
∴S△A1DE=2×2

2

-S△A1B1E-S△ACD-S△BDE=4

2

-

2

-

2

2

-

2

2

=2

2

．
又VA1-CDE=VC-A1DE=

1

3

S△A1DE?CD=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．
∴三棱锥A₁-CDE的体积为

4

3

．

点评：本题主要考查线面垂直的判断，以及三棱锥的体积的计算，利用等积法将三棱锥转化为规则的三棱锥是解决本题关键．