Question

11．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，若有穷数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^•）的前n项和等于$\frac{63}{64}$，则n=6．

Answer 1

分析 由$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$列出方程求出a的值，根据求导法则求出$[\frac{f（x）}{g（x）}]′$，结合条件判断出导数的符号，即可确定函数的单调性，由指数函数的单调性确定a的值，代入$\frac{f（n）}{g（n）}$由条件和等比数列的前n项和公式求出n的值．

解答 解：因为$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，且$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，
所以a+${a}^{-1}=\frac{5}{2}$，化简得2a²-5a+2=0，解得a=$\frac{1}{2}$或2，
因为f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
所以$[\frac{f（x）}{g（x）}]′$=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
则$\frac{f（x）}{g（x）}={a}^{x}$在定义域上单调递减，故a=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{f（n）}{g（n）}$=${（\frac{1}{2}）}^{n}$，则有穷数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^•）是以$\frac{1}{2}$为首项、公比的等比数列，
因为有穷数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^•）的前n项和等于$\frac{63}{64}$，
所以$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{63}{64}$，解得n=6，
故答案为：6．

点评 本题考查了等比数列的定义、前n项和公式，以及函数的导数与函数单调性关系，属于中档题．