题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
| ||
| 2 |
分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，|AB|=
．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知
=
，得m2=
(k2+1)．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，|AB|=
| 3 |
由已知
| |m| | ||
|
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b=1，∴所求椭圆方程为
+y2=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时，|AB|=
．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知
=
，得m2=
(k2+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
．
∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2
=(1+k2)[
-
]
=
=
=3+
=3+
(k≠0)≤3+
=4．
当且仅当9k2=
，即k=±
时等号成立．当k=0时，|AB|=
，
综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=
×|AB|max×
=
．
|
| x2 |
| 3 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时，|AB|=
| 3 |
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知
| |m| | ||
|
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴x1+x2=
| -6km |
| 3k2+1 |
| 3(m2-1) |
| 3k2+1 |
∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2
=(1+k2)[
| 36k2m2 |
| (3k2+1)2 |
| 12(m2-1) |
| 3k2+1 |
=
| 12(k2+1)(3k2+1-m2) |
| (3k2+1)2 |
=
| 3(k2+1)(9k2+1) |
| (3k2+1)2 |
=3+
| 12k2 |
| 9k4+6k2+1 |
=3+
| 12 | ||
9k2+
|
| 12 |
| 2×3+6 |
当且仅当9k2=
| 1 |
| k2 |
| ||
| 3 |
| 3 |
综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．
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