题目内容
已知f（x）=x3-3x2+2，x1，x2是区间[-1，1]上任意两个值，M≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，则M的最小值是（ ）
分析：对任意x1，x2∈[-1，1]，M≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，等价于M≥f（x）max-f（x）min，利用导数即可求得函数f（x）的最大值、最小值．
解答：解：f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），
当-1≤x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
所以当x=0时f（x）取得极大值，也为最大值，f（0）=2，
又f（-1）=-2，f（1）=0，
所以f（x）的最小值为-2，
对[-1，1]上任意x1，x2，|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min=4，
所以M≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，等价于M≥4，及M的最小值为4，
故选D．
当-1≤x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
所以当x=0时f（x）取得极大值，也为最大值，f（0）=2，
又f（-1）=-2，f（1）=0，
所以f（x）的最小值为-2，
对[-1，1]上任意x1，x2，|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min=4，
所以M≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，等价于M≥4，及M的最小值为4，
故选D．
点评：本题考查利用导数求闭区间上的函数最值，考查函数恒成立问题，解决本题的关键是对问题进行等价转化，变为求函数的最值解决．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目