Question

求下列函数的值域：

(1)y=x²-2x(-1≤x≤2)；(2)y=x⁴+1.

Answer 1

思路分析：本题主要考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；(2)观察得x⁴≥0，得函数的值域，也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.

解：(1)(图像法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x²-2x(-1≤x≤2)的图像，如图所示.

    函数y=x²-2x(-1≤x≤2)的图像上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图像知函数的值域是［-1,3］.

(2)解法一(观察法)：函数的定义域是R，则x⁴≥0，有x⁴+1≥1，即函数y=x⁴+1的值域是［1,+∞)；

解法二(换元法)：函数的定义域是R，设x²=t，则t≥0，则有y=t²+1.利用图像可求得当t≥0时，二次函数y=t²+1的值域是［1,+∞),即函数y=x⁴+1的值域是［1,+∞).