Question

如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转α （0＜α＜

π

2

）得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A′FE=α；
②对任意α （0＜α＜

π

2

），△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．
（1）设A′E=x，将x表示为α的函数；
（2）试确定α，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．

Answer 1

分析：（1）利用AB=AE+EF+BF=3，表示出相应线段长，即可将x表示为α的函数；
（2）求正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，即求S_△A′EF的最大值，表示出S_△A′EF，利用换元法，即可求得面积的最大值，从而可得结论．

解答：解：（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE=α，A′E=x，
所以EF=

x

sinα

，A′F=

x

tanα

．
由题意AE=A′E=x，BF=A′F=

x

tanα

，
所以AB=AE+EF+BF=x+

x

sinα

+

x

tanα

=3．
所以x=

3sinα

1+sinα+cosα

，α∈（0，

π

2

）                    …（6分）
（2）S_△A′EF=

1

2

•A′E•A′F=

1

2

•x•

x

tanα

=

x2

2tanα

=（

3sinα

1+sinα+cosα

）²•

cosα

2sinα

=

9sinαcosα

2(1+sinα+cosα)2

．   …（10分）
令t=sinα+cosα，则sinαcosα=

t2-1

2

．
因为α∈（0，

π

2

），所以α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），所以t=

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]．
S_△A′EF=

9(t2-1)

4(1+t)2

=

9

4

（1-

2

t+1

）≤

9

4

（1-

2

2 +1

）．
正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积S=S_{正方形A′B′C′D′}-4S_△A′EF≥9-9 （1-

2

2 +1

）=18（

2

-1）．
当t=

2

，即α=

π

4

时等号成立．                     …（15分）
答：当α=

π

4

时，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，最小值为18（

2

-1）．…（16分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查面积的计算，考查换元法，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．