Question

已知函数.
（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得＜，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，故的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，故的单调递增区间是；当时，故的单调递增区间是和，单调递减区间是；（Ⅲ）.

解析试题分析：（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值，与函数曲线的切线有关，可利用导数的几何意义来解，既对求导即可，本题由函数，知，由曲线在和处的切线互相平行，即，这样就能求出的值；（Ⅱ）求的单调区间，常利用的导数来判断，本题由，由于的值不知道，需对的取值范围进行分类讨论，从而求出的单调区间；（Ⅲ）对任意，均存在，使得＜，等价于在上有，只需分别求出与的最大值，利用，就能求出的取值范围．
试题解析：.     2分
（Ⅰ），解得.     3分
（Ⅱ）.     5分
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，
单调递减区间是.      6分
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，
单调递减区间是.         7分
③当时，， 故的单调递增区间是.  8分
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.   9分
（Ⅲ）由已知，在上有.    10分
由