Question

【题目】已知函数= .

(1)是否存在实数使函数是奇函数?并说明理由;

(2)在(1)的条件下,当时, 恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)存在满足题意.(2)

【解析】试题分析：(1)由=得=，可得a=1；(2)利用函数单调性的定义证明函数在上是增函数，则原不等式等价于= ，即，当时恒成立，设=，再利用函数单调性的定义证明在上是减函数，在上是增函数，即可求出求值，即可得出结论.

试题解析：(1)当函数是奇函数，由得， =,

解得.

(2)函数，任取，设

则==，

因为函数在上是增函数,且所以，

又,所以，即，

所以函数在上是增函数，因为是奇函数，

从而不等式等价于= ,

因为函数在上是增函数，所以，所以当时恒成立.

设，任取,且则==，

当且时, ，

所以，所以在上是减函数；

当且时， ，

所以，所以在上是增函数，所以= =，

即，所以的取值范围为