Question

f(x)在定义域内可导，若f(1-x)=f(1+x)，且当x∈(-∞，1)时，有(x-1)f′(x)＜0

，设a=f(0)，b=f(

1

2

)，c=f（3），则（　　）

A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜c＜a

Answer 1

分析：根据当x∈（-∞，1）时，有（x-1）f^′（x）＜0，推出在x∈（-∞，1）时，f^′（x）＞0，从而得到函数f（x）在x∈（-∞，1）时的单调性，再根据函数满足f（1-x）=f（1+x）得到函数的对称轴，根据x的取值离对称轴的远近可以求得a、b、c的大小．

解答：解：因为当x∈（-∞，1）时，有（x-1）f^′（x）＜0，
由x∈（-∞，1），∴x-1＜0，所以f^′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，1）上为增函数，
又函数满足f（1-x）=f（1+x），所以f（3）=f（-1），
∵-1＜0＜

1

2

＜1，∴f(

1

2

)＞f(0)＞f（-1），
所以f(

1

2

)＞f(0)＞f(3)，即b＞a＞c．
故选C．

点评：本题考查了导数的运算，考查了函数单调性，考查了函数导函数的符号与原函数增减性的关系，此题是中档题．