Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，∠ABC=

π

3

，∠BCA=

π

2

，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：解法一：（1）先利用PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A证得PA⊥底面ABC?PA⊥BC；再结合∠BCA=90°，即可证得BC⊥平面PAC；
（2）先利用D为PB的中点?DE∥BC?DE⊥平面PAC，得到∠DAE是AD与平面PAC所成的角；然后在Rt△ADE中求出任意两边长即可得到AD与平面PAC所成的角的正弦值．
解法二：先建立以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a．求出对应各点的坐标；
（1）求出

AP

=(0，0，a)，

BC

=(

1

2

a，0，0)，得到BC⊥AP；再结合∠BCA=90°，即可证得BC⊥平面PAC；
（2）先利用D为PB的中点?DE∥BC?DE⊥平面PAC，得到∠DAE是AD与平面PAC所成的角；然后求出夹∠DAE两边的向量坐标，代入向量的数量积计算公式，求出cos∠DAE；再根据同角的正余弦之间的关系即可得到结论．

解答：解：（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=

1

2

BC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=

1

2

AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=

1

2

AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AD

=

BC

2AD

=

2

4

，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是

2

4

．（12分）
（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），B(-

1

2

a，

3

2

a，0)，C(0，

3

2

a，0)．
（1）∵

AP

=(0，0，a)，

BC

=(

1

2

a，0，0)，
∴

AP

•

BC

=0，
∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴E为PC的中点，
∴D(-

1

4

a，

3

4

a，

1

2

a)，E(0，

3

4

a，

1

2

a)，
∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵

AD

=（-

1

4

a，

3

4

a，

1

2

a），

AE

=（0，

3

4

a，

1

2

a），
∴cos∠DAE=

AD • AE

| AD |•| AE |

=

14

4

，sin∠DAE=

1-( 14 4 )2

=

2

4

．
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为

2

4

．（12分）

点评：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．