Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F(-

2

，0)，点F到右顶点的距离为

3

+

2

（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l与椭圆交于A、B两点，且与圆x2+y2=

3

4

相切，求△AOB的面积为

3

2

时求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的左焦点为F(-

2

，0)，点F到右顶点的距离为

3

+

2

，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（II）当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程，利用直线l与圆x2+y2=

3

4

相切，确定m，k的关系，再利用韦达定理及△AOB的面积为

3

2

，即可求得直线l的斜率．

解答：解：（I）由题意得c=

2

，a+c=

3

+

2

∴a=

3

，∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（II）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±

3

2

，代入椭圆方程，可得y=±

3

2

，此时|AB|=

3

，△AOB的面积为S=

1

2

|AB|×

3

2

=

3

4

，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线l与圆x2+y2=

3

4

相切，∴

|m|

1+k2

=

3

2

，即m2=

3

4

(k2+1)
直线与椭圆方程联立，消去y可得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=

-6km

3k2+1

，x₁x₂=

3m2-3

3k2+1

∴|AB|=

1+k2

×

( -6km 3k2+1 )2-4× 3m2-3 3k2+1

=

3

×

1+k2

∴

1

2

×

3

×

1+k2

×

3

2

=

3

2

，∴k=±

3

3

即直线l的斜率为±

3

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．