Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，试问在x轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)答案见解析.

【解析】

(1)由题意结合椭圆的离心率和椭圆的性质可得，则椭圆方程为.

(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使是与k无关的常数，设直线L方程为，联立直线方程与椭圆方程，设，结合韦达定理可得，设常数为t=，讨论计算可得，即在x轴上存在点M()，使是与k无关的常数.

(1)∵椭圆离心率为，∴，∴.

又∵椭圆过点(，1)，代入椭圆方程，得.

所以.

∴椭圆方程为，即.

(2)在x轴上存在点M，使是与k无关的常数.

证明：假设在x轴上存在点M(m,0),使是与k无关的常数，

∵直线L过点C(-1，0)且斜率为k,∴L方程为，

由得.

设，则,

∵

∴

=

=

=

=

设常数为t，则

整理得对任意的k恒成立，

，解得，

即在x轴上存在点M()，使是与k无关的常数.