Question

在已知抛物线y＝x²上存在两个不同的点M、N关于直线l：y＝－kx＋对称，求k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：方法一：由题意知k≠0．

　　设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)是曲线上关于直线对称的两点，

　　则MN的方程可设为y＝x＋b，

　　代入y＝x²，

　　得x²x－b＝0，且△＝＋4b＞0．①

　　又x₁＋x₂＝，中点x₀＝，y₀＝＋b，

　　∵(x₀，y₀)在直线l：y＝－kx＋上，

　　∴＋b＝－k·＋．

　　∴b＝4．②

　　②代入①，得＋16＞0．

　　∴＜16，即k²＞．

　　∴k＞或k＜．

　　方法二：设M(x₁，x₁²)、N(x₂，x₂²)关于直线l对称，且MN⊥l．

　　∴，即x₁＋x₂＝．

　　又MN的中点在l上，

　　∴＝－k·＋＝－k·＋＝4．

　　∵中点必在抛物线开口内，

　　∴＞()²，即4＞()²．

　　∴k²＞，即k＞或k＜．

　　解析：曲线上存在两点关于某条直线对称，求参数的取值范围．这类问题在椭圆、双曲线中都曾出现过，一般说来，导出关于待定系数不等式的方法很多，如在椭圆中，可以利用弦中点(x₀，y₀)在椭圆内部，则＋＜1，得到与参数有关的不等式．但这类问题最普遍的还是利用△＞0．具体方法如下：设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)是曲线C上关于直线y＝kx＋b对称的两点，则P、Q的方程为y＝x＋m．代入曲线C的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，其中P、Q点的横坐标即为方程的根，故△＞0，从而求得k(或b)的范围．