Question

已知两圆C₁:(x-4)²+y²=169,C₂:(x+4)²+y²=9,动圆在圆C₁内部且和圆C₁相内切、和圆C₂相外切,求动圆圆心的轨迹.

Answer 1

解:由已知可得圆C₁与圆C₂的圆心坐标与半径分别为C₁(4,0),r₁=13;C₂(-4,0),r₂=3.

设动圆的圆心为C,其坐标为(x,y),动圆的半径为r.

由于圆C₁与圆C相内切,依据两圆内切的充要条件,可得|C₁C|=r₁-r.①

由于圆C₂与圆C相外切,依据两圆外切的充要条件,可得|C₂C|=r₂+r.②

如图所示,由①+②可得

|CC₁|+|CC₂|=r₁+r₂=13+3=16.

    即点C到两定点C₁与C₂的距离之和为16,且|C₁C₂|=8,且满足2a＞2c,可知动点C的轨迹为椭圆,且以C₁与C₂为其焦点.由题意,c=4,a=8,∴b²=a²-c²=64-16=48.

∴椭圆的方程为+=1.

∴动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,其方程为+=1.