Question

（2013•嘉定区一模）已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两种方法解：法1：令f（x）=0得到一个方程，将方程左边提取cos

x

2

化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，利用余弦函数的图象与性质及正切函数的图象与性质分别求出x的范围，即可得到方程的解集；法2：将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，令f（x）=0，整理后利用正弦函数的图象与性质求出x的范围，即为方程的解集．
（2）利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式b²=ac代入，利用基本不等式变形得到cosB的范围，由B为三角形的内角，利用余弦函数的图象与性质得出此时B的范围，即为x的范围，将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）法1：由f（x）=0，
得sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

=cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）=0，
由cos

x

2

=0，得

x

2

=kπ+

π

2

，
∴x=2kπ+π（k∈Z）；
由sin

x

2

+

3

cos

x

2

=0，得tan

x

2

=-

3

，
∴

x

2

=kπ-

π

3

，即x=2kπ-

2π

3

（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ-

2π

3

（k∈Z）}；
法2：f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
由f（x）=0，得sin（x+

π

3

）=-

3

2

，
可得x+

π

3

=kπ-（-1）^k

π

3

（k∈Z），即x=kπ-（-1）^k

π

3

-

π

3

（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ-（-1）^k

π

3

-

π

3

（k∈Z）}；
（2）∵b²=ac，且a²+c²≥2ac（当且仅当a=c时取等号），
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

1

2

，
又B为三角形的内角，
∴0＜B≤

π

3

，
由题意得x=B，即x∈（0，

π

3

]，
f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
∵x+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，
则此时函数f（x）的值域为[

3

，

3

2

+1]．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，余弦、正切函数的图象与性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．