Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，S_n为前n项和，且满足S_2n-2S_n=n²，n∈N^*．
（1）求a₂及{a_n}的通项公式；
（2）记bn=n+qan(q＞0)，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）可令n=1代入S_2n-2S_n=n²得到a₂，因为此数列为等差数列，所以得到公差，即可表示出数列{a_n}的通项公式；
（2）把{a_n}的通项公式代入到bn=n+qan(q＞0)中化简，分q≠1和q=1两种情况求数列{b_n}的前n项和T_n．当q=1时，{b_n}为等差数列，利用等差数列的求和公式求出即可；当q≠1时，前n项之和T_n为一个等差数列和一个等比数列组成，分别求出之和相加即可．

解答：解：（1）令n=1，代入S_2n-2S_n=n²，得s₂-2s₁=1²，即a₁+a₂-2a₁=1
又∵a₁=1
∴a₂=2
∴公差d=1
∴a_n=1+（n-1）•1=n．
（2）由（1）得b_n=n+qⁿ
若q≠1，则Tn=(1+2+3+n)+(q1+q2++qn)=

n(n+1)

2

+

q(1-qn)

1-q

若q=1则b_n=n+1，Tn=

n•(b1+bn)

2

=

n(n+3)

2

．

点评：本题主要考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和等基础知识．考查运算求解能力，同时考查分类与整合思想、化归与转化思想．