Question

设函数f（x）=x²+bx+c（x∈R）且f′（x）+f（x）＞0恒成立，则对?a∈（0，+∞），下面不等式恒成立的是（ ）
A．f（-a）＜e^af（0）
B．f（-a）＞e^af（0）
C．f（a）＜e^af（0）
D．f（a）＞e^af（0）

Answer 1

【答案】分析：构造函数F（x）=e^x×f（x），根据题设条件，可得此函数是一个增函数，从而得F（-a）＜F（0），于是可得答案．
解答：解：令F（x）=e^x×f（x），
∵f'（x）+f（x）＞0
∴F′（x）=（e^x）′×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x（f'（x）+f（x））＞0，
∴F（x）=e^x×f（x）为增函数，又a＞0，
∴F（a）＞F（0），即e^af（a）＞ef（0）=f（0），
又-a＜0，
∴F（-a）＜F（0），即e^-af（-a）＜ef（0）=f（0），
即f（-a）＜e^af（0）
故选A．
点评：本题考查函数恒成立问题，构造函数F（x）=e^x×f（x）并研究其单调性是关键，也是难点，着重考查观察与分析问题的能力，属于好题，难题．