Question

【题目】函数fn（x）=xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．
（1）若n=﹣1，且f﹣1（1）=f﹣1（ ）=4，试求实数b，c的值；
（2）设n=2，若对任意x1 ， x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4恒成立，求b的取值范围；
（3）当n=1时，已知bx2+cx﹣a=0，设g（x）= ，是否存在正数a，使得对于区间 上的任意三个实数m，n，p，都存在以f1（g（m）），f1（g（n）），f1（g（p））为边长的三角形？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=﹣1，且 ，

可得1+b+c=4，2+ b+c=4，解得b=2，c=1；

（2）解：当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，

对任意x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4恒成立等价于

f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．

①当﹣ ＜﹣1，即b＞2时，f2（x）在[﹣1，1]递增，

f2（x）min=f2（﹣1）=1﹣b+c，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，

M=2b＞4（舍去）；

②当﹣1≤﹣ ≤0，即0≤b≤2时，f2（x）在[﹣1，﹣ ]递减，在（﹣ ，1]递增，

f2（x）min=f2（﹣ ）=c﹣ ，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=（ +1）2≤4恒成立，故0≤b≤2；

③当0＜﹣ ≤1即﹣2≤b＜0时，f2（x）在[﹣1，﹣ ]递减，在（﹣ ，1]递增，

f2（x）min=f2（﹣ ）=c﹣ ，f2（x）max=f2（﹣1）=1﹣b+c，M=（ ﹣1）2≤4恒成立，故﹣2≤b＜0；

④当﹣ ＞1，即b＜﹣2时，f2（x）在[﹣1，1]递减，

f2（x）min=f2（1）=1+b+c，f2（x）max=f2（﹣1）=1﹣b+c，

M=﹣2b＞4矛盾．

综上可得，b的取值范围是﹣2≤b≤2；

（3）解：设t=g（x）= = = ，

由x∈ ，可得t∈[ ，1]．

则y=t+ 在[ ，1]上恒有2ymin＞ymax．

①当a∈（0， ]时，y=t+ 在[ ，1]上递增，

ymin= +3a，ymax=a+1，又2ymin＞ymax．

则a＞ ，即有 ＜a≤ ；

②当a∈（ ， ]时，y=t+ 在[ ， ）递减，（ ，1）递增，

可得ymin=2 ，ymax=max{3a+ ，a+1}=a+1，又2ymin＞ymax．

解得7﹣4 ＜a＜7+4 ，即有 ＜a≤ ；

③当a∈（ ，1）时，y=t+ 在[ ， ）递减，（ ，1）递增，

可得ymin=2 ，ymax=max{3a+ ，a+1}=3a+ ，又2ymin＞ymax．

解得 ＜a＜ ，即有 ＜a＜1；

④当a∈[1，+∞）时，y=t+ 在[ ，1]上递减，

ymin=a+1，ymax=3a+ ，又2ymin＞ymax．

则a＜ ，即有1≤a＜ ．

综上可得，存在这样的三角形，a的取值范围是 ＜a＜ ．

【解析】（1）由条件，可得b，c的方程，解方程可得b，c；（2）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4恒成立等价于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．讨论对称轴和区间的关系，判断单调性，可得最值，解不等式即可得到所求范围；（3）设t=g（x）= = = ，由x∈ ，可得t∈[ ，1]．则y=t+ 在[ ，1]上恒有2ymin＞ymax．讨论顶点处x= 与区间[ ，1]的关系，求得单调性，可得最值，解不等式即可得到存在，求得a的范围．